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A posteriori error estimation and adaptive strategy for PGD model reduction applied to parametrized linear parabolic problems
We define an a posteriori verification procedure that enables to control and
certify PGD-based model reduction techniques applied to parametrized linear
elliptic or parabolic problems. Using the concept of constitutive relation
error, it provides guaranteed and fully computable global/goal-oriented error
estimates taking both discretization and PGD truncation errors into account.
Splitting the error sources, it also leads to a natural greedy adaptive
strategy which can be driven in order to optimize the accuracy of PGD
approximations. The focus of the paper is on two technical points: (i)
construction of equilibrated fields required to compute guaranteed error
bounds; (ii) error splitting and adaptive process when performing PGD-based
model reduction. Performances of the proposed verification and adaptation tools
are shown on several multi-parameter mechanical problems
Error control for and with PGD reduced models
De nombreux problĂšmes de mĂ©canique des structures nĂ©cessitent la rĂ©solution de plusieurs problĂšmes numĂ©riques semblables. Une approche itĂ©rative de type rĂ©duction de modĂšle, la Proper Generalized Decomposition (PGD), permet de dĂ©terminer lâensemble des solutions en une fois, par lâintroduction de paramĂštres supplĂ©mentaires. Cependant, un frein majeur Ă son utilisation dans le monde industriel est lâabsence dâestimateur dâerreur robuste permettant de mesurer la qualitĂ© des solutions obtenues. Lâapproche retenue sâappuie sur le concept dâerreur en relation de comportement. Cette mĂ©thode consiste Ă construire des champs admissibles, assurant ainsi lâaspect conservatif et garanti de lâestimation de lâerreur en rĂ©utilisant le maximum dâoutils employĂ©s dans le cadre Ă©lĂ©ments finis. La possibilitĂ© de quantifier lâimportance des diffĂ©rentes sources dâerreur (rĂ©duction et discrĂ©tisation) permet de plus de piloter les principales stratĂ©gies de rĂ©solution PGD. Deux stratĂ©gies ont Ă©tĂ© proposĂ©es dans ces travaux. La premiĂšre sâest principalement limitĂ©e Ă post-traiter une solution PGD pour construire une estimation de lâerreur commise, de façon non intrusive pour les codes PGD existants. La seconde consiste en une nouvelle stratĂ©gie PGD fournissant une approximation amĂ©liorĂ©e couplĂ©e Ă une estimation de lâerreur commise. Les diverses Ă©tudes comparatives sont menĂ©es dans le cadre des problĂšmes linĂ©aires thermiques et en Ă©lasticitĂ©. Ces travaux ont Ă©galement permis dâoptimiser les mĂ©thodes de construction de champs admissibles en substituant la rĂ©solution de nombreux problĂšmes semblables par une solution PGD, exploitĂ©e comme un abaque.Many structural mechanics problems require the resolution of several similar numerical problems. An iterative model reduction approach, the Proper Generalized Decomposition (PGD), enables the control of the main solutions at once, by the introduction of additional parameters. However, a major drawback to its use in the industrial world is the absence of a robust error estimator to measure the quality of the solutions obtained.The approach used is based on the concept of constitutive relation error. This method consists in constructing admissible fields, thus ensuring the conservative and guaranteed aspect of the estimation of the error by reusing the maximum number of tools used in the finite elements framework. The ability to quantify the importance of the different sources of error (reduction and discretization) allows to control the main strategies of PGD resolution.Two strategies have been proposed in this work. The first was limited to post-processing a PGD solution to construct an estimate of the error committed, in a non-intrusively way for existing PGD codes. The second consists of a new PGD strategy providing an improved approximation associated with an estimate of the error committed. The various comparative studies are carried out in the context of linear thermal and elasticity problems.This work also allowed us to optimize the admissible fields construction methods by substituting the resolution of many similar problems by a PGD solution, exploited as a virtual chart
ControÌle dâerreur pour et par les modeÌles reÌduits PGD
Many structural mechanics problems require the resolution of several similar numerical problems. An iterative model reduction approach, the Proper Generalized Decomposition (PGD), enables the control of the main solutions at once, by the introduction of additional parameters. However, a major drawback to its use in the industrial world is the absence of a robust error estimator to measure the quality of the solutions obtained.The approach used is based on the concept of constitutive relation error. This method consists in constructing admissible fields, thus ensuring the conservative and guaranteed aspect of the estimation of the error by reusing the maximum number of tools used in the finite elements framework. The ability to quantify the importance of the different sources of error (reduction and discretization) allows to control the main strategies of PGD resolution.Two strategies have been proposed in this work. The first was limited to post-processing a PGD solution to construct an estimate of the error committed, in a non-intrusively way for existing PGD codes. The second consists of a new PGD strategy providing an improved approximation associated with an estimate of the error committed. The various comparative studies are carried out in the context of linear thermal and elasticity problems.This work also allowed us to optimize the admissible fields construction methods by substituting the resolution of many similar problems by a PGD solution, exploited as a virtual chart.De nombreux problĂšmes de mĂ©canique des structures nĂ©cessitent la rĂ©solution de plusieurs problĂšmes numĂ©riques semblables. Une approche itĂ©rative de type rĂ©duction de modĂšle, la Proper Generalized Decomposition (PGD), permet de dĂ©terminer lâensemble des solutions en une fois, par lâintroduction de paramĂštres supplĂ©mentaires. Cependant, un frein majeur Ă son utilisation dans le monde industriel est lâabsence dâestimateur dâerreur robuste permettant de mesurer la qualitĂ© des solutions obtenues. Lâapproche retenue sâappuie sur le concept dâerreur en relation de comportement. Cette mĂ©thode consiste Ă construire des champs admissibles, assurant ainsi lâaspect conservatif et garanti de lâestimation de lâerreur en rĂ©utilisant le maximum dâoutils employĂ©s dans le cadre Ă©lĂ©ments finis. La possibilitĂ© de quantifier lâimportance des diffĂ©rentes sources dâerreur (rĂ©duction et discrĂ©tisation) permet de plus de piloter les principales stratĂ©gies de rĂ©solution PGD. Deux stratĂ©gies ont Ă©tĂ© proposĂ©es dans ces travaux. La premiĂšre sâest principalement limitĂ©e Ă post-traiter une solution PGD pour construire une estimation de lâerreur commise, de façon non intrusive pour les codes PGD existants. La seconde consiste en une nouvelle stratĂ©gie PGD fournissant une approximation amĂ©liorĂ©e couplĂ©e Ă une estimation de lâerreur commise. Les diverses Ă©tudes comparatives sont menĂ©es dans le cadre des problĂšmes linĂ©aires thermiques et en Ă©lasticitĂ©. Ces travaux ont Ă©galement permis dâoptimiser les mĂ©thodes de construction de champs admissibles en substituant la rĂ©solution de nombreux problĂšmes semblables par une solution PGD, exploitĂ©e comme un abaque
Recent advances in the control of PGD-based approximations
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Verification and effectivity of PGD model reduction
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Error estimation and adaptivity for PGD reduced models
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Une nouvelle stratégie de calcul de modÚles réduits PGD basée sur l'erreur en relation de comportement
International audienceDans ce papier, nous introduisons un nouvel algorithme pour calculer un modÚle réduit PGD (Proper Generalized Decomposition) basé sur la minimisation de l'erreur en relation de comportement. L'objectif de cette méthode est de procurer une meilleure estimation des modes PGD et un indicateur immédiat, robuste et garanti de l'erreur de réduction. On comparera cette méthode à l'ensemble des algorithmes classiques de calcul PGD sur un cas test de thermique transitoire unidimensionnel, proposé par S. Idelsohn. En particulier, on étudiera les limites de la PGD
Recent advances in error estimation and adaptivity for PGD reduced models
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Minimal CRE-PGD
National audienceUne nouvelle et prometteuse stratégie de réduction de modÚle PGD est proposée, procurant une estimation de l'erreur de réduction immédiate et fiable. Basée sur la minimisation de l'erreur en relation de comportement, elle fournie un estimateur immédiat, utile pour contrÎler la réduction de modÚle. Dans ce poster, on a confronté cette stratégie à celles classiques de réduction PGD sur un cas test thermique instationnaire unidimensionnel
Towards simplified and optimized a posteriori error estimation using PGD reduced models
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